Hola Carmen, intentaré explicarte el proceso a seguir.
Como la deuda es mayor de 2000 euros, para evitarte el poner un proceso monitorio, puedes demandarles e ir directamente a un Juicio Verbal, tienes que perder ese juicio puesto que lo que quieres es llegar al Supremo.
Después de perder ese juicio deberás apelar y si te admiten la apelación, podrás ir a la Audiencia Provincial ya en segunda Instancia.
Una vez allí, deberás volver a perder el juicio en segunda instancia.
Después de perder este último juicio, deberás presentar un recurso de casación y si tienes suerte y aceptan dar trámite a ese recurso podrás llegar a presentar tu caso ante el Tribunal Supremo.
Total poco y tiempo y poco dinero. Pero ya te he contestado lo que preguntabas.
Espero haberte ayudado.